Question

已知函数

   （1）求的单调区间；

   （2）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）求证：当，时，关于的方程在区间上总有两个不同的解.

Answer 1

解：

（Ⅰ）f¢(x)＝2(x－a)ex＋(x－a)2ex＝(x－a)[x－(a－2)]ex．…………………………2分

令f¢(x)＝0，得x1＝a－2，x2＝a．

当x变化时，f¢(x)、f(x)的变化如下：

x	(－∞，a－2)	a－2	(a－2，a)	a	(a，＋∞)
f¢(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以

f(x)的单调递增区间是(－∞，a－2)，(a，＋∞)，

单调递减区间是(a－2，a)．………………………………………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得[f(x)]极大＝f(a－2)＝4ea－2．

（1）当a≤1时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)或f(1)，

由解得－1≤a≤1；

（2）当a－2≤1＜a，即1＜a≤3时，f(x)在(－∞，1]上的最大值为f(a－2)，

此时f(a－2)＝4ea－2≤4e3－2＝4e；

（3）当a－2＞1，即a＞3时，f(1)＝(a－1)2e＞4e，f(x)≤4e不恒成立．

综上，a的取值范围是[－1，3]．…………………………12分

（III）,

令

从而问题转化为证明当函数在与x轴有两个不同的交点，而，,所以在上有解,且有两解。

                                                           （  15分 ）