Question

在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,点D、D₁分别为AC、A₁C₁的中点.

(1)当的值等于何值时,BC₁∥平面AB₁D₁？

(2)若平面BC₁D∥平面AB₁D₁,求的值.

Answer 1

思路分析:若BC₁∥平面AB₁D₁,则平面AB₁D₁中存在直线与BC₁平行,连结A₁B交AB₁于O,

由棱柱的定义知O为A₁B的中点,平面A₁BC₁与平面AB₁D₁的交线OD₁与直线BC₁平行,由三角形中位线定理知D₁为A₁C₁的中点,此时=1.

若平面BC₁D∥平面AB₁D₁,易知=1.

解:(1)如图2-2-14,取D₁为线段A₁C₁的中点,

图2-2-14

此时=1,连结A₁B交AB₁于O,连结OD₁.

由棱柱的定义,知四边形A₁ABB₁为平行四边形,

所以点O为A₁B的中点.

在△A₁BC₁中,点O、D₁分别为A₁B、A₁C₁的中点,

∴OD₁∥BC₁.

又∵OD₁平面AB₁D₁,BC₁平面AB₁D₁,

∴BC₁∥平面AB₁D₁.

∴=1时,BC₁∥平面AB₁D₁.

(2)由已知BC₁D∥平面AB₁D₁,且平面A₁BC₁∩平面BDC₁=BC₁,

平面A₁BC₁∩平面AB₁D₁=D₁O,

因此BC₁∥D₁O.

同理AD₁∥DC₁,∴,=.

又∵=1,∴=1.