Question

【题目】已知椭圆左、右顶点分别为A、B，上顶点为D(0,1)，离心率为.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若点E是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AE、BE与直线分别交于M、N两点，当线段MN的长度最小时，椭圆C上是否存在点T使的面积为？若存在，求出点T的坐标：若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）由椭圆的性质列出方程组，即可得出椭圆方程；

（2）根据题意表示出的坐标，进而得出直线的方程以及弦长，由的面积得出点到直线的距离，将该距离转化为两平行直线的距离，即可得出的坐标.

（1）

椭圆C的标准方程为

（2）显然直线的斜率存在，设为，并且，则

设，由，解得

由，得到

由，得出，则

，即，所以直线

由，得出

当且仅当时，取等号，则

此时，

直线

若椭圆C上存在点T使的面积为，则点到直线的距离为

即过点且与直线平行的直线到直线的距离为

设该直线为，则，解得或

当时，由，解得或

当时，由得

由于，则不成立

综上，存在或，使的面积为