Question

【题目】三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC边上的一个动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为则该三棱锥外接球的表面积为(　　)

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据题意画出图形，结合图形找出△ABC的外接圆圆心与三棱锥P﹣ABC外接球的球心，

求出外接球的半径，再计算它的表面积．

三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ，

如图所示；则sinθ==，且sinθ的最大值是，

∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为，

∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；

取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA，

∴=2r，解得r=2；

∴O′A=2，

取H为PA的中点，∴OH=O′A=2，PH=，

由勾股定理得OP=R==，

∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是

S=4πR2=4×=57π．

故答案为：C