Question

椭圆mx²+ny²=1与直线x+y=1交于M，N两点，MN的中点为P，且OP的斜率为

2

2

，则

m

n

的值为（　　）

• A、

  2

  2

• B、

  2 2

  3

• C、

  9 2

  2

• D、

  2 3

  27

Answer 1

分析：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀）由KOP=

y0

x0

=

2

2

①，

y2-y1

x2-x1

=-1②及M，N在椭圆上，可得

mx12+ny12=1 mx22+ny22=1

利用点差法进行求解

解答：解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
∴KOP=

y0

x0

=

2

2

①，

y2-y1

x2-x1

=-1②，
由题意M，N在椭圆上，可得

mx12+ny12=1 mx22+ny22=1

，
两式相减可得m（x₁-x₂）（x₁+x₂）+n（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0③，
把①②代入③整理可得

m

n

=

2

2

，
故选：A．

点评：本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，在涉及到与弦的斜率及中点有关时的常用方法有两个：①联立直线与椭圆，根据方程求解②利用“点差法”，而第二种方法可以简化运算，注意应用．