Question

【题目】数列满足，．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和为．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由已知，得，

即，即，即．（2分）

所以，，…，，

以上各式相加得．

又，所以．（5分）

（2）由（1）知，所以，

．（7分）

所以

．（10分）

【易错提醒】（1）对递推式变形时，应明确方向，准确把握数列的递推关系，通过变形将其转化为常见的等差、等比数列问题求解是解决此类问题的基本思路；（2）构造新数列时，一定要注意原数列的项与新数列的项之间的对应，如本题中第（1）问，，则的表达式既不是，也不是，而是，即把式子中所有的都换成．

【解题技巧】求解数列递推关系式问题的基本原则就是对数列的递推式进行变换，把原问题转换为等差、等比数列进行处理．转化的常用方法有：（1）待定系数法，如，可以通过待定系数将其转化为形如的等比数列；（2）取倒数法，如本题；（3）观察变换法，如，可以在两端同时除以，转化为形如的等差数列；（4）取对数法等．求解数列递推关系式问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过变换进行解答，在变换时要小心谨慎．