Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=AD=a，BC=2a，PD⊥底面ABCD，PD=3a．
（1）求三棱锥B-PAC的体积；
（2）在PD上是否存在一点F，使得PB∥平面ACF，若存在，求出

PF

FD

的值；若不存在，试说明理由；

Answer 1

分析：（1）先根据PD⊥底面ABCD可得三棱锥B-PAC的高，进而根据棱锥的体积公式可求得答案．
（2）存在点F使PB∥平面ACF，且

PF

DF

=2
先连接BD交AC于E，连接EF，可得到AD∥BC，再由等比线段的性质得到PB∥EF，最后根据线面平行的判定定理得到PB∥平面ACF，得证．

解答：解：（1）∵PD⊥底面ABCD∴PD是三棱锥B-PAC的高，
∴v=

1

3

×PD×S△ABC=

1

3

×3a×

1

2

a×2a=a³

（2）存在点F使PB∥平面ACF，

PF

DF

=2
连接BD交AC于E，连接EF，AD∥BC，AD=a，BC=2a，
所以

AD

BC

=

DE

EB

=

DF

PF

=

1

2

，所以PB∥EF
又EF⊆平面ACF，PB不在平面ACF内，所以PB∥平面ACF

点评：本题主要考查线面平行的判定定理和棱锥的体积公式的应用．考查考生的空间想象能力和基础知识的综合应用．