Question

已知P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[-

π

4

，

π

4

]．
（1）求向量

OP

和

OQ

的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；
（2）求θ的最值．

Answer 1

分析：（1）求出

OP

•

OQ

=2cosx，以及|

OP

|•|

OQ

|，依据题意，写出函数f（x）；
（2）根据（1）函数的表达式，结合x的范围，利用基本不等式以及三角函数的值域，求出θ的最值．

解答：解：（1）∵

OP

•

OQ

=2cosx，
|

OP

|•|

OQ

|=1+cos²x，
∴f（x）=cosθ=

2cosx

1+cos2x

．
（2）cosθ=

2cosx

1+cos2x

=

2

cosx+ 1 cosx

，
x∈[-

π

4

，

π

4

]，cosx∈[

2

2

，1]．
∴2≤cosx+

1

cosx

≤

3 2

2

，

2 2

3

≤f（x）≤1，即

2 2

3

≤cosθ≤1．
∴θ_max=arccos

2 2

3

，θ_min=0．

点评：本题是基础题，考查三角函数的最值，数量积表示两个向量的夹角，考查计算能力，基本不等式的应用，注意基本不等式的应用条件．