Question

甲、乙两人解关于x的方程：log₂x+b+clog_x2=0，甲写错了常数b，得两根

1

4

，

1

8

；乙写错了常数c，得两根

1

2

，64．求这个方程的真正根．

Answer 1

分析：利用对数的换底公式可把方程化简为，（log₂x）²+blog₂x+c=0，令t=log₂x，则  t²+bt+c=0，甲写错了常数b，c正确，可用两根之积求c；乙写错了常数c，b正确，可利用两根之和求b，从而可求方程正确的根．

解答：解：由对数的换底公式可得log2x+b+c•

1

log2x

=0
整理可得，（log₂x）²+blog₂x+c=0
令t=log₂x，则  t²+bt+c=0
甲写错了常数b，t1=log2

1

4

=-2    t2=log2

1

8

=-3
c=t₁t₂=6正确
乙写错了常数c，t1=log2

1

2

 =-1 ，t2=log264=6
b=-（t₁+t₂）=-5正确
代入可得t²-5t+6=0，
∴t₁=2t₂=3
∴x₁=4x₂=8

点评：本题主要考查了对数的换底公式，对数的基本运算，一元二次方程的根与系数的关系的应用，要注意本题的易错点：方程的根是“x”，而不是“log₂x”．