题目内容
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2
，B=45°．
（Ⅰ）若b=2
，求角A的大小；
（Ⅱ）若cosA=
，求△ABC的面积．
| 3 |
（Ⅰ）若b=2
| 2 |
（Ⅱ）若cosA=
| 4 |
| 5 |
分析：（I）根据正弦定理
=
的式子，代入数据算出sinA=
，结合A为三角形的内角，可得角A的大小；
（II）由同角三角函数的基本关系，算出sinA=
，利用正弦定理算出边b=
．然后根据诱导公式与两角和的正弦公式算出sinC=
，利用三角形的面积公式加以计算，可得△ABC的面积．
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| ||
| 2 |
（II）由同角三角函数的基本关系，算出sinA=
| 3 |
| 5 |
5
| ||
| 3 |
7
| ||
| 10 |
解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，由正弦定理得
=
，
∴sinA=
=
=
，
又∵a＞b，∴A=60°或A=120°．
（Ⅱ）∵△ABC中，cosA=
，∴sinA=
=
．
∴由正弦定理得：b=
=
=
．
由此可得sinC=sin[180°-（A+B）]
=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
×
+
×
=
，
∴△ABC的面积为：S△ABC=
absinC=
×2
×
×
=7．…（13分）
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
∴sinA=
| asinB |
| b |
2
| ||||||
2
|
| ||
| 2 |
又∵a＞b，∴A=60°或A=120°．
（Ⅱ）∵△ABC中，cosA=
| 4 |
| 5 |
| 1-cos2A |
| 3 |
| 5 |
∴由正弦定理得：b=
| a•sinB |
| sinA |
2
| ||||||
|
5
| ||
| 3 |
由此可得sinC=sin[180°-（A+B）]
=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=
| 3 |
| 5 |
| ||
| 2 |
| 4 |
| 5 |
| ||
| 2 |
7
| ||
| 10 |
∴△ABC的面积为：S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
5
| ||
| 3 |
7
| ||
| 10 |
点评：本题给出三角形一边与一角，在已知另一边的情况下求角的大小，并在cosA的情况下求三角形的面积．着重考查了正弦定理、三角形的面积公式与三角恒等变换等知识，属于中档题．
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