Question

【题目】已知函数， ，其中， .

（1）当时，求在点处切线的方程；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（3）记，求证： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，即可写出切线；（2）根据单调递增可知函数导数在上大于等于零恒成立，分离参数即可求出a的取值范围；（3）写出，求导数，利用导数求其最小值即可证明.

试题解析：

（1）解：当时， ，

∴，此时切点为，

∴的方程为．

（2）解：∵，函数在区间上单调递增，

∴在区间上恒成立，

∴在上恒成立，则，

令，则，当时， ，

∴，

∴．

（3）证明：∵，∴，则，

∴，

令，

则，

令，则，

显然在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，

∴，则．