Question

设函数，其中为常数．

（1）当时，判断函数在定义域上的单调性；

（2）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；

（3）求证对任意不小于3的正整数，不等式都成立．

Answer 1

（1）函数在定义域上单调递增．

       （2）当且仅当时有极值点；当时，有唯一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点    

     （3）证明见解析。

解析:

（1）由题意知，的定义域为，

     …… 1分

当时， ，函数在定义域上单调递增．   …… 2分

（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．

………3分

②当时，有两个不同解，

时，，

此时，随在定义域上的变化情况如下表：

	减	极小值	增

由此表可知：时，有唯一极小值点，   …… 5分

ii)   当时，0＜＜1 此时，，随的变化情况如下表：

	增	极大值	减	极小值	增

由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：当且仅当时有极值点；当时，有唯一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点       …… 8分

（3）由(2)可知当时，函数，

此时有唯一极小值点

且          …… 9分

                 

…… 11分

令函数 …… 12分

    …… 14分