题目内容
已知函数
，
（a为实数）．
（1） 当a=5时，求函数
在
处的切线方程；
（2） 求
在区间
（
）上的最小值；
（3） 若存在两不等实根
，使方程
成立，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）
；（2）当
时, 
，当
时, 
；（3）
.
【解析】
试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性等性质等基础知识，同时考查分类讨论等综合解题能力.第一问，先将
代入，确定
的解析式，利用导数求切线的斜率，利用求切点的纵坐标，即可得出切线方程；第二问，先对
求导，令
，
解出单调区间如表格，下面需讨论t的取值范围，分2种情况，当和时判断函数的单调区间，判断最小值；第三问，将问题转化为
与
两个图像有交点，对函数
求导，判断函数的单调性，最小值为
，而最大值在
和
中取得，需作出比较和的大小，来判断出最大值，最后令a在最大值与最小值之间，注意数形结合判断端点处是否符合题意.
试题解析：（1）当
时
,
. 1分
，故切线的斜率为
. 2分
所以切线方程为:
,即
. 4分
（2）
,
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| 单调递减 | 极小值(最小值) | 单调递增 |
6分
①当
时,在区间
上
为增函数,
所以
7分
②当
时,在区间
上为减函数,在区间
上为增函数,
所以
8分
（3） 由
，可得：
， 9分
,
令
, 
.
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| 单调递减 | 极小值(最小值) | 单调递增 |
10分
,
,
.
. 11分
实数
的取值范围为
. 12分
考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.利用导数求函数最值.
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，其中a为实数．
时，求函数f(x)的极大值点和极小值点；
成立，求实数t的取值范围．
x3－(a2＋
)x2＋(2a＋5)x－3，h(x)＝f(x)＋m(x)，设函数
是否存在a，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2(x2≠x1)，使得
(x2)＝
(x1)成立？若存在，求a的值；若不存，请说明理由．
的导数
为实数，
.
且与曲线
的方程；
，试判断函数
的极值点个数。
，其中a为实数。
的单调区间；
对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围。
恒成立。
，其中a为实数．
恒成立．