Question

已知f（x）=ax²-2lnx，x∈（0，e]，其中e是自然对数的底．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）当x=1时，f（x）取到极值，即f′（1）=0，从而求得a的值；
（2）求出f′（x），其中x∈（0，e]，讨论f′（x）在a＞0、a≤0时，是否大于0？小于0？从而确定f（x）的单调区间．

解答：解：（1）∵f（x）=ax²-2lnx，x∈（0，e]，
∴f′（x）=2ax-

2

x

=

2(ax2-1)

x

，
当x=1时，f（x）取到极值，∴f′（1）=0，解得a=1；
当a=1时，f′（x）=

2(x2-1)

x

在（0，1）上小于0，∴f（x）是减函数，
f′（x）=

2(x2-1)

x

在（1，e]上大于0，∴f（x）是增函数，
∴f（1）是函数的极小值，此时a的值为-

1

4

；
（2）∵f′（x）=2ax-

2

x

=

2(ax2-1)

x

，x∈（0，e]，
当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是减函数，∴（0，e]是单调减区间；
当a＞0时，令f′（x）=0，则

2(ax2-1)

x

=0，∴ax²-1=0，解得x=

1 a

，
①若a＞

1

e2

，则f′（x）在（0，

1 a

）上小于0，f（x）是减函数，∴（0，

1 a

）是单调减区间；
f′（x）在（

1 a

，e]上大于0，f（x）是增函数，∴（

1 a

，e]是单调增区间；
②若a≤

1

e2

，则f′（x）在（0，e]上小于0，f（x）是减函数，∴（0，e]是单调减区间；
综上，当a≤

1

e2

时，（0，e]是f（x）的单调减区间；
当a＞

1

e2

时，（0，

1 a

）是f（x）的单调减区间，（

1 a

，e]是f（x）的单调增区间．

点评：本题考查了利用导数判定函数的单调性、求函数的极值问题，也考查了含有参数的不等式的解法问题，是较难的题目．