Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆E：（x-5）²+y²=9相切，则双曲线C的离心率等于

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆E：（x-5）²+y²=9相切?圆心（5，0）到渐近线的距离等于半径r=3，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．

解答： 解：取双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线bx-ay=0．
圆E：（x-5）²+y²=9的圆心（5，0），半径r=3．
∵渐近线与圆E：（x-5）²+y²=9相切，∴

|5b|

b2+a2

=3
化为

9

16

a²=b²．
∴该双曲线的离心率e=

c

a

=

1+ b2 a2

=

5

4

．
故答案为：

5

4

．

点评：熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键．