Question

已知_n=

∫

n 0

（2x+1）dx，数列{

1

an

}的前n项和为S_n，数列{b_n}的通项公式为b_n=n-35，n∈N^*，则b_nS_n的最小值为

-25

．

Answer 1

分析：由题意，先由微积分基本定理求出a_n再根据通项的结构求出数列{

1

an

}的前n项和为S_n，然后代入求b_nS_n的最小值即可得到答案

解答：解：a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx=（x²+x）

|

n 0

=n²+n
∴

1

an

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴数列{

1

an

}的前n项和为S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
b_n=n-35，n∈N^*，
则b_nS_n=

n

n+1

×（n-35）=n+1+

36

n+1

-37≥2×6-37=-25，
等号当且仅当n+1=

36

n+1

，即n=5时成立，
故b_nS_n的最小值为-25．
故答案为：-25

点评：本题考查微积分基本定理及数列的求和，数列的最值等问题，综合性强，知识转换快，解题时要严谨认真，莫因变形出现失误导致解题失败．