题目内容

数列{an}满足：a1=1，an+1=an2+an，则
1
1+a1
+
1
1+a2
+
1
1+a3
+…+
1
1+a2011
+
1
a2012
的值等于（　　）
分析：将an+1=an2+an，两边取倒数，并裂项得
1
an+1
=
1
an (an+1)
=
1
an 
-
1
an+1
，移向得出
1
1+an 
=
1
an 
-
1
an+1
，由此能够化简原式并计算．
解答：解：∵an+1=an2+an，即an+1=an (an+1)，
1
an+1
=
1
an (an+1)
=
1
an 
-
1
an+1
，移向得出
1
1+an 
=
1
an 
-
1
an+1
，
则
1
1+a1
+
1
1+a2
+
1
1+a3
+…+
1
1+a2011
+
1
a2012
=（
1
a1 
-
1
a2
）+（
1
a2 
-
1
a3
）+…（
1
a2012 
-
1
a2012
）+
1
a2012
=
1
a1
=1，
故选：A．
点评：本题考查裂项法在数列中的应用，考查变形构造，运算求解能力．
练习册系列答案
相关题目
设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a=
1
2
，c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn．
数列{an}满足a1=a，an+1=
an+3
2
，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若an+1=an，求a的值；
（Ⅱ）当a=
1
2
时，证明：an＜
3
2
；
（Ⅲ）设数列{an-1}的前n项之积为Tn．若对任意正整数n，总有（an+1）Tn≤6成立，求a的取值范围．
（2011•天津模拟）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c（n∈N*），其中a，c为实数，且c≠0．
（1）求证：a≠1时数列{an-1}是等比数列，并求an；
（2）设a=
1
2
c=
1
2
，bn=n(1-an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn；
（3）设a=
3
4
，c=-
1
4
，cn=
3+an
2-an
(n∈N*)，记dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，设数列{dn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有Tn＜
5
3
．
（2009•大连二模）已知a为实数，数列{an}满足a1=a，当n≥2时，an=
an-1-4 (an-1＞4)
5-an-1 (an-1≤4)

（I）当a=200时，填写下列表格；
N 2 3 51 200
an
（II）当a=200时，求数列{an}的前200项的和S200；
（III）令b n=
an
(-2)n
，Tn=b1+b2…+bn求证：当1＜a＜
5
3
时，T n＜
5-3a
3
．
已知常数a、b都是正整数，函数f(x)=
x
bx+1
（x＞0），数列{an}满足a1=a，
1
an+1
=f(
1
an
)（n∈N*）
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若a=8b，且等比数列{bn}同时满足：①b1=a1，b2=a5；②数列{bn}的每一项都是数列{an}中的某一项．试判断数列{bn}是有穷数列或是无穷数列，并简要说明理由；
（3）对问题（2）继续探究，若b2=am（m＞1，m是常数），当m取何正整数时，数列{bn}是有穷数列；当m取何正整数时，数列{bn}是无穷数列，并说明理由．

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