Question

若椭圆

x2

m

+

y2

9

=1 （m＞9）与双曲线

x2

n

-

y2

9

=

1

（n＞0）有相同的焦点F₁、F₂，P是两曲线的一个交点，则△F₁PF₂的面积是．

Answer 1

分析：由题意可得 m-9=n+9，不妨设点P是位于第一象限内的点，再由椭圆和双曲线的定义可得 PF₁+PT₂=2

m

，PF₁-PT₂=2

n

．解得PF₁ 和PF₂ 的值，以及焦距F₁F₂ 的值，可得 F1F22=PF12+PF22，故有 PF₁⊥PF₂．由此求得△F₁PF₂的面积是

1

2

PF₁•PF₂=

1

2

（m-n）的值．

解答：解：由题意可得 m-9=n+9，故m=n+18．
不妨设点P是位于第一象限内的点，再由椭圆和双曲线的定义可得 PF₁+PT₂=2

m

，PF₁-PT₂=2

n

．
解得PF₁=

m

+

n

，PF₂=

m

-

n

，∴PF12+PF22=2m+2n=4n+36．
由于焦距F₁F₂=2

n+9

，∴F1F22=4n+36=PF12+PF22，∴PF₁⊥PF₂．
故△F₁PF₂的面积是

1

2

PF₁•PF₂=

1

2

（m-n）=9．

点评：本题主要考查椭圆、双曲线的定义及简单性质的应用，属于中档题．