Question

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为2k，
(Ⅰ)证明：a₄，a₅，a₆成等比数列；
(Ⅱ)求数列{a_n}的通项公式；
(Ⅲ)记，证明。

Answer 1

解：(Ⅰ)证明：由题设可知，a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+2=4，a4=a3+4=8，
a₅=a₄+4=12，a₆=a₅+6=18，
从而， 所以a₄，a₅，a₆成等比数列．
(Ⅱ)由题设，可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N*，
所以a_2k+1-a₁=(a_2k+1-a_2k-1)+(a_2k-1-a_2k-3)+…+(a₃-a₁)
=4k+4（k-1）+…+4×1=2k（k+1），k∈N*，
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+l），
从而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，
所以数列{an}的通项公式为或写为。
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可知a_2k+1=2k(k+1)，a_2k=2k²，
以下分两种情况进行讨论：
(1)当n为偶数时，设n=2m(m∈N*)，
若m=1，则，
若m≥2，则


，
所以，，
从而，n=4，6，8，……
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N*），

，
所以，
从而，n=3，5，7，……
综合（1）和（2）可知，对任意n≥2，n∈N*，有。