题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且不等式f（x）＜0的解集为（-∞，1）∪（3，+∞），若f（x）的最大值小于2，则a的取值范围是 ________．
-2＜a＜0
分析：根据不等式判定a 的范围，根据解集确定方程的根，再根据最大值可得a 的范围．
解答：f（x）＜0的解集为（-∞，1）∪（3，+∞），∴a＜0 且1，3是方程ax2+bx+c=0的两根．∴f（x）=a（x-1）（x-3）=ax2-4ax+3a=a（x-2）2-a．∴f（x）max=f（2）=-a＜2．∴a＞-2．
综上，-2＜a＜0．
故答案为：-2＜a＜0．
点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，不等式的解集问题，是中档题．
分析：根据不等式判定a 的范围，根据解集确定方程的根，再根据最大值可得a 的范围．
解答：f（x）＜0的解集为（-∞，1）∪（3，+∞），∴a＜0 且1，3是方程ax2+bx+c=0的两根．∴f（x）=a（x-1）（x-3）=ax2-4ax+3a=a（x-2）2-a．∴f（x）max=f（2）=-a＜2．∴a＞-2．
综上，-2＜a＜0．
故答案为：-2＜a＜0．
点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，不等式的解集问题，是中档题．
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