Question

设函数 ()．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）试通过研究函数（）的单调性证明：当时，；
（Ⅲ）证明：当,且均为正实数,  时，．

Answer 1

（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明过程详见解析；（3）证明过程详见解析.

试题分析：（1）求导数，讨论真数与1的大小来判断的正负；（2）利用函数的单调性证明大小关系；（3）利用柯西不等式列出不等式，两边取幂，两边去倒数，利用不等式的性质证明.
试题解析：（Ⅰ）由，有，    1分
当，即时，单调递增；
当，即时，单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．      3分
（Ⅱ）设（），则，5分
由（Ⅰ）知在单调递减，且，
∴在恒成立，故在单调递减，
又，∴，得，
∴，即：．8分
（Ⅲ）由，及柯西不等式：

，                           
所以，
.     11分
又，由（Ⅱ）可知，
即，即.
则.
故. 14分