Question

【题目】已知函数（）在处取得极值，其中，，为常数．

（I）试确定，的值；

（II）讨论函数的单调区间；

（III）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（I），；（II）的单调递减区间为，单调递增区间为；（III）.

【解析】

试题函数的导函数为，（I）函数在处的极值，即，解方程组即可求得；（II）将代入中，并令，便可求得单调区间；（III）由前面所求的函数的单调区间，从而求得函数的最小值这样便能将不等式恒成立转化为，解不等式即可求得的取值范围.

试题解析：（I）由题意知，因此，从而．

又对求导得．

由题意，因此，解得．

（II）由（I）知（），令，解得．

当时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数．

因此的单调递减区间为，单调递增区间为．

（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也

是最小值，要使（）恒成立，只需．

即，从而，解得或．

所以的取值范围为．