Question

设a（0＜a＜1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若f(

1

2

)=0，f（log_at）＞0，则t的取值范围是（　　）

• A、(0，

  a

  )
• B、(1，

  1

  a

  )
• C、(0，

  1

  a

  )
• D、(1，

  1

  a

  )∪(0，

  a

  )

Answer 1

分析：由f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，可知函数在（-∞，0）上单调递增，且有f（-

1

2

）=f(

1

2

)=0，则f（log_a^t）＞0转化为log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，再利用底数小于1的对数函数是减函数即可求t的取值范

解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，
∴在（-∞，0）上是减函数，又f（

1

2

）=0，
可得f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=0，
∴f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函数值为正
∴f（log_a^t）＞0转化为log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，
又∵0＜a＜1
∴log_at＞

1

2

=log_aa 

1

2

，可得0＜a＜

a

，
-

1

2

＜log_at＜0，1＜a＜

1

a

，
故选D

点评：本题考查了奇函数的单调性的性质：对称区间上的单调性相同的应用，指数函数的单调性的应用，解题的关键是根据已知 得到f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函数值为正