Question

设a（0＜a＜1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，若f（

1

2

）=0，f（log_at）＞0，则t的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用条件得f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函数值为正，把f（log_at）＞0转化为log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，再利用底数小于1的对数函数是减函数即可求t的取值范围．

解答：解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）上是增函数，
∴在（-∞，0）上是增函数，又f（

1

2

）=0，
可得f（-

1

2

）=-f（

1

2

）=0，
∴f（x）在（-

1

2

，0）和（

1

2

，+∞）上函数值为正
∴f（log_a^t）＞0转化为log_at＞

1

2

或-

1

2

＜log_at＜0，
又∵0＜a＜1
∴log_at＞

1

2

=log_aa 

1

2

，可得0＜t＜

a

，
-

1

2

＜log_at＜0，1＜t＜

1

a

，
故答案为（1，

1

a

）∪（0，

a

）．

点评：本题考查了函数的单调性和奇偶性的应用，在利用单调性解题时遵循原则是：增函数自变量越大函数值越大，减函数自变量越小函数值越小．