Question

10．已知函数f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数，
（1）求实数m的值；
（2）当a=3时，不等式f（x）＜3^x-t对∨x∈[2，3]恒成立，求t的取值范围；
（3）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（x）+f（-x）=0，从而可得$\frac{1-mx}{x-1}$•$\frac{1+mx}{-x-1}$=1，从而解得；
（2）当a=3时，不等式f（x）＜3^x-t可化为t＜3^x-log₃（$\frac{x+1}{x-1}$），从而可判断y=3^x-log₃（$\frac{x+1}{x-1}$）在[2，3]上是增函数；从而化为最值问题；
（3）分类讨论，从而确定函数的单调性，再由单调性及值域确定实数a与n的值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=log_a$\frac{1-mx}{x-1}$（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0，
即$\frac{1-mx}{x-1}$•$\frac{1+mx}{-x-1}$=1，
即1-m²x²=1-x²恒成立，
故m=-1或m=1（舍去）；
故m=-1．
（2）当a=3时，不等式f（x）＜3^x-t可化为t＜3^x-log₃（$\frac{x+1}{x-1}$），
易知y=$\frac{x+1}{x-1}$在[2，3]上是减函数，y=3^x在[2，3]上是增函数；
结合复合函数的单调性可知，
y=3^x-log₃（$\frac{x+1}{x-1}$）在[2，3]上是增函数；
故y_min=3²-log₃3=8，
故t＜8；
（3）①当n≥1时，则1≤n＜a-2，即a＞3，
则f（x）在（n，a-2）上为减函数，值域恰为（1，+∞），所以f（a-2）=1，
即log_a$\frac{a-1}{a-3}$=1，即$\frac{a-1}{a-3}$=a，
解得，a=2+$\sqrt{3}$，且n=1；
②当n＜1时，则（n，a-2）?（-∞，-1），所以0＜a＜1，
因为f（x）在（n，a-2）上为增函数，
所以f（n）=1，a-2=-1，
解得a=1与a＞0且a≠1矛盾（舍）．
综上所述，a=2+$\sqrt{3}$，n=1．

点评 本题考查了函数的性质判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用及恒成立问题．