题目内容
【题目】如图，已知四棱锥
的底面
为棱形，且
面，
，
，
，且
，
分别为
，
的中点.
（1）求证：
面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）先利用线面垂直的性质证明
，再由菱形的性质可得
，根据线面垂直的判定定理可得结果；（2）建立空间直角坐标系, 取
的中点
，连
，易证
面
，可得平面
的一个法向量为
，利用向量垂直数量积为零求出平面
的法向量，利用空间向量加角余弦公式可求出二面角
的余弦值.
（1）∵
平面
∴
又∵在菱形中，对角线为
与
∴
又∵
∴
面
（2）
平面内，过
作直线与
垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
，
，
，
∴中点
，中点
则取的中点，连，
则
，
所以 面，
所以面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为
，则
∴
令
，则
，
∴
令二面角的平面角为
，易知该二面角为锐角
∴
.
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【题目】有两种理财产品
和
，投资这两种理财产品一年后盈亏的情况如下（每种理财产品的不同投资结果之间相互独立）：
产品：
投资结果 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 |
概率 |
|
|
|
产品：
投资结果 | 获利 | 不赔不赚 | 亏损 |
概率 |
|
|
|
注：
（1）若甲、乙两人分别选择了产品
投资，一年后他们中至少有一人获利的概率大于
，求实数
的取值范围；
（2）若丙要将20万元人民币投资其中一种产品，以一年后的投资收益的期望值为决策依据，则丙选择哪种产品投资较为理想.
