Question

(本小题满分13分)

已知数列、、的通项公式满足，（）．若数列

是一个非零常数列，则称数列是一阶等差数列；若数列是一个非零常数列，则称数列是二阶等差数列．

（Ⅰ）试写出满足条件，，的二阶等差数列的前五项；

（Ⅱ）求满足条件（Ⅰ）的二阶等差数列的通项公式；

（Ⅲ）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式．

Answer 1

  (本小题满分13分)

已知数列、、的通项公式满足，（）．若数列

是一个非零常数列，则称数列是一阶等差数列；若数列是一个非零常数列，则称数列是二阶等差数列．

（Ⅰ）试写出满足条件，，的二阶等差数列的前五项；

（Ⅱ）求满足条件（Ⅰ）的二阶等差数列的通项公式；

（Ⅲ）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式．

解：（Ⅰ）

   （Ⅱ）依题意  

所以

=1+1+1+1+…+1=n.

又，……

所以

 

   （Ⅲ）由已知可得

即

解法一：整理得：a_n+1+2ⁿ⁺¹=4（a_n+2ⁿ），

因而数列的首项为，公比为4的等比数列，

∴a_n+2ⁿ=4·4^n-1=4ⁿ，

即 。

解法二：在等式两边同时除以2ⁿ⁺¹得：

 

令

故数列{k_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列.

所以k_n+1=2·2^n-1=2^n­­，即k_n=2ⁿ－1

∴