Question

如图，在五棱锥S-ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°，
(Ⅰ)求异面直线CD与SB所成的角(用反三角函数值表示)；
(Ⅱ)证明BC⊥平面SAB；
(Ⅲ)用反三角函数值表示二面角B-SC-D的大小。

Answer 1

解：（Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F， 则∠DCF=∠CDF=60°， ∴△CDF为正三角形， ∴CF=DF， 又BC=DE， ∴BF=EF， 因此，△BFE为正三角形， ∴∠FBE=∠FCD=60°， ∴BE∥CD， 所以∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB所成的角， ∵SA⊥底面ABCDE，且SA=AB=AE=2， ∴SB=， 又∠BAE=120°， 所以BE=， 从而， ∴∠SBE=， 所以异面直线CD与SB所成的角为。 （Ⅱ）由题意，△ABE是等腰三角形，∠BAE=120°， 所以∠ABE=30°， 又∠FBE=60°， ∴∠ABC=90°， 所以BC⊥BA， ∵SA⊥底面ABCDE，BC底面ABCDE， ∴SA⊥BC， 又SA∩BA=A， ∴BC⊥平面SAB。 （Ⅲ）二面角B-SC-D的大小为。