Question

19．已知函数f（x）=$\frac{alnx}{x}$在x=1处的切线经过点（0，-1）．
（I）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，若不等式f（x）≤x²-x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）求导f′（x）=a$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，从而可得$\frac{0-（-1）}{1-0}$=a，从而解得a=1，再代入求单调区间；
（Ⅱ）可知f_max（x）=f（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，x²-x+m≥m-$\frac{1}{4}$，从而可得m-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{e}$，从而解得．

解答 解：（I）∵f（x）=$\frac{alnx}{x}$，∴f′（x）=a$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴f（1）=0，f′（1）=a，
∵函数f（x）=$\frac{alnx}{x}$在x=1处的切线经过点（0，-1），
∴$\frac{0-（-1）}{1-0}$=a，
故a=1，
故f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
故当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，
当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）∵f（x）≤x²-x+m对x∈（0，+∞）恒成立，
由（I）知，f_max（x）=f（e）=$\frac{lne}{e}$=$\frac{1}{e}$，
x²-x+m≥m-$\frac{1}{4}$，
故m-$\frac{1}{4}$≥$\frac{1}{e}$，
故m≥$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及恒成立问题的应用．