Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过其右焦点F且与x轴垂直的直线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右顶点为R，且满足.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若斜率为k(其中)的直线l过点F，且与椭圆交于点A，B，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆交于点C，D，求四边形ACBD面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）(6，) .

【解析】

(1)根据离心率及，结合椭圆的定义即可求得椭圆的方程。

(2)设出直线方程，联立椭圆方程化简即可得关于x的一元二次方程，根据韦达定理即可得AB的表达式，然后求得点到直线的距离之和为，进而表达出四边形ACBD面积，即可求得S的取值范围。

(1)由得

=2(a－c)=2

∴，

∴椭圆。

(2)由消y得

∴Δ=122(k2+1)恒正，，

∴=，

M(，－) ∴kOM=－

(此处也可以用点差法:由得

∴，∴kOM==－)

由得，即为C、D两点的坐标，

∴点到直线的距离之和为

=2，

∴S=××2

= (k≠0)，

∴S的取值范围=(6，).