Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，是正方形，是中点，点在上，且.

（1）证明平面；

（2）若，求平面与平面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见详解；(2).

【解析】

（1）根据平面，可得，再证，即可由线线垂直推证线面垂直；

（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得两个平面的法向量，再求出夹角的余弦，转化为正弦值即可.

（1）因为平面，平面，故可得；

设底面正方形的边长为4，故可得，

，，

故在中，满足，故可得；

又平面，且，

则平面，即证.

（2）因为平面,平面，故可得，

又底面为正方形，故可得，

故以为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系如下图所示：

设，故可得

设平面的法向量为，

则，则

取，则.

不妨取平面的法向量.

则.

设平面与平面所成二面角的平面为，

则.

即平面与平面所成二面角的正弦值为.