题目内容
【题目】已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为(
,0),(
,0),圆E是△ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=2,动点C的轨迹为曲线G.
（1）求曲线G的方程;
（2）设直线l与曲线G交于M,N两点,点D在曲线G上,
是坐标原点
,判断四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出该定值;如果不是,请说明理由.
【答案】（1）
.（2）四边形OMDN的面积是定值,其定值为
.
【解析】
（1）根据三角形内切圆的性质证得
，由此判断出
点的轨迹为椭圆，并由此求得曲线
的方程.
（2）将直线
的斜率分成不存在或存在两种情况，求出平行四边形
的面积，两种情况下四边形的面积都为，由此证得四边形的面积为定值.
（1）因为圆E为△ABC的内切圆,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|
所以点C的轨迹为以点A和点B为焦点的椭圆（点不在
轴上）,
所以c
,a=2,b,
所以曲线G的方程为,
（2）因为
，故四边形为平行四边形.
当直线l的斜率不存在时，则四边形为为菱形，
故直线MN的方程为x=﹣1或x=1,
此时可求得四边形OMDN的面积为.
当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,
代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,
∴x1+x2
,x1x2
,△=8(4k2+2﹣m2)>0,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2m
,|MN|
点O到直线MN的距离d
,
由,得xD,yD，
∵点D在曲线C上,所以将D点坐标代入椭圆方程得1+2k2=2m2,
由题意四边形OMDN为平行四边形,
∴OMDN的面积为S
,
由1+2k2=2m2得S
,
故四边形OMDN的面积是定值,其定值为.
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【题目】某啤酒厂要将一批鲜啤酒用汽车从所在城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，运费由厂家承担．若厂家恰能在约定日期（×月×日）将啤酒送到，则城市乙的销售商一次性支付给厂家40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给厂家2万；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给厂家2万元．为保证啤酒新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送．已知下表内的信息：
汽车行驶路线 | 在不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天） | 在堵车的情况下到达城市乙所需时间（天） | 堵车的概率 | 运费（万元） |
公路1 | 1 | 4 |
| 2 |
公路2 | 2 | 3 |
| 1 |
（1）记汽车选择公路1运送啤酒时厂家获得的毛收入为X（单位：万元），求X的分布列和EX；
（2）若
，
，选择哪条公路运送啤酒厂家获得的毛收人更多？
（注：毛收入=销售商支付给厂家的费用-运费）．
