Question

（2010•崇文区二模）在平面直角坐标系xOy中，平面区域W中的点的坐标（x，y）满足x²+y²≤5，从区域W中随机取点M（x，y）．
（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，求点M位于第四象限的概率；
（Ⅱ）已知直线l：y=-x+b（b＞0）与圆O：x²+y²=5相交所截得的弦长为

15

，求y≥-x+b的概率．

Answer 1

分析：（I）先一一列举出平面区域W中的整点的个数，再看看在第四象限的有多少个点，最后利用概率公式计算即得；
（II）因满足：“y≥-x+b”的平面区域是一个弓形区域，欲求y≥-x+b的概率，只须求出弓形区域的面积与圆的面积之比即可．

解答：解：（Ⅰ）若x∈Z，y∈Z，则点M的个数共有21个，
列举如下：（-2，-1），（-2，0），（-2，1）；（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2）；（0，-2），（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）；（1，-2），（1，-1），（1，0），（1，1），（1，2）；（2，-1），（2，0），（2，1）．
当点M的坐标为（1，-1），（1，-2），（2，-1）时，点M位于第四象限．
故点M位于第四象限的概率为

1

7

．（6分）

（Ⅱ）由已知可知区域W的面积是5π．
因为直线l：y=-x+b与圆O：x²+y²=5的弦长为

15

，
如图，可求得扇形的圆心角为

2

3

π，
所以扇形的面积为S=

1

2

×

2

3

π×

5

×

5

=

5

3

π，
则满足y≥-x+b的点M构成的区域的面积为S=

5

3

π-

1

2

×

5

×

5

×sin

2

3

π=

20π-15 3

12

，
所以y≥-x+b的概率为

20π-15 3 12

5π

=

4π-3 3

12π

．（13分）

点评：本题主要考查了古典概型和几何概型，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=

m

n

．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．