Question

已知函数在处的切线方程为.
(1)求函数的解析式;
(2)若关于的方程恰有两个不同的实根,求实数的值;
(3)数列满足，，求的整数部分.

Answer 1

（1）；（2）或；（3）.

试题分析：（1）由题意可得，又根据在处的切线方程为，故可从切线斜率与切点建立关于的方程组，可解得，从而；（2）由（1）及方程，参变分离后可得：，因此问题就等价于求使恰有两个不同的，满足的的值，令，
可得，从而当时，取极小值，当时，取极大值，因此可以大致画出的示意图，而问题则进一步等价于直线与的图像恰有两个交点，通过示意图易得当或时满足题意；（3）通过题意可知，需求得的值夹在哪两个整数之间，由（1），可得，因此，而，
∴，∴，而将递推公式可进一步变形为，从而
，
又有，从而的整数部分为.
试题解析：（1）∵，∴, 由题意在处的切线方程为，则，∴；
（2）由（1），∴即，∴，因此问题即等价于存恰有两个不同的，使，令，则，∴在上单调递增，在，上单调递减，∴当时，取极小值，当时，取极大值，又当时，，当时，，因此可画出函数的大致示意图如下，而问题就等价于直线与的图像恰有两个交点，

故要存在两个不同的满足，则需或.
（3）由（1），∴，∴
又∵，∴，
∴
由,得,∴,
即，
∴
，又∵， 
综上，，∴的整数部分为.