Question

【题目】若定义在R上的函数满足：对于任意实数x、y，总有恒成立，我们称为“类余弦型”函数．

已知为“类余弦型”函数，且，求和的值；

在的条件下，定义数列2，3，求的值．

若为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有，证明：函数为偶函数，设有理数，满足，判断和的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1），（2）（3）证明见解析，，证明见解析

【解析】

是抽象函数基础题,令,求得;令,求得;

对于此数列,需要求其通项,而求通项又需要递推公式,令，,利用题中关系式推导出递推公式,求通项然后利用对数的运算法则求解答案;

属于难题,因为的铺垫,代入特定的数即令,y为任意实数即可证明偶函数,证明与的大小关系需要定义新的数列,又因为题目中的有理数条件,要充分利用分数的特点.

解：令，，则，所以．

令，，则，所以．

令，，其中n是大于1的整数，则，所以，即．

又因为，所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，所以，则．

所以原式．

(3)证明:由题意函数定义域为R关于原点对称,

令,y为任意实数,则，即，所以是偶函数．

令N为,分母的最小公倍数,并且,,都是自然数,并且．

令数列满足，，1，下证：数列单调递增．

，所以；

若，n是正整数，即；

令，，则，即．

所以．

综上,数列单调递增,所以，又因为是偶函数，所以