Question

【题目】已知椭圆的左、右两个顶点分别为、，曲线是以、两点为顶点，焦距为的双曲线，设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点.

（1）求曲线的方程；

（2）设、两点的横坐标分别为、，求证为一定值；

（3）设△与△（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）.

【解析】

（1）由椭圆方程可得，由焦距得到，根据求得，进而得到双曲线方程；

（2）设，与双曲线方程联立，结合韦达定理可求得；同理可求得，相乘可求得定值；

（3）设，，利用向量数量积可求得；利用点在双曲线上且位于第一象限可求得的范围；将表示为，根据对号函数的性质可求得最值，进而得到取值范围.

（1）由椭圆方程可得：，，即双曲线中，

又双曲线焦距为

曲线的方程为：

（2）由题意可知，直线斜率存在，则可设

联立得：

，

椭圆与直线联立得：可得：

，即为定值

（3）由（2）可设，

则，

又点在双曲线上 ，解得：

又位于第一象限

，

令

在上单调递减，在上单调递增

，

的取值范围为