题目内容
求证：cotα+cot2α+cot4α=| 2+2cos2α+3cos4α | sin4α |
分析：要证cotα+cot2α+cot4α=
，只需证明（cotα+cot2α+cot4α）sin4α=3cos4α+2cos2α+2
左边余切化为只需、余弦，利用二倍角的正弦和余弦化简，直到证明出3cos4α+2cos2α+2即可．
| 2+2cos2α+3cos4α |
| sin4α |
左边余切化为只需、余弦，利用二倍角的正弦和余弦化简，直到证明出3cos4α+2cos2α+2即可．
解答：证明：因为（cotα+cot2α+cot4α）sin4α=(
+
+
)sin4α
=
+
+
•sin4α
=cos4α+2cos22α+4cos2αcos2α
=cos4α+2cos2α（2cos2α+cos2α）
=cos4α+2cos2α+4cos22α
=3cos4α+2cos2α+2
所以cotα+cot2α+cot4α=
等式成立．
| cosα |
| sinα |
| cos2α |
| sin2α |
| cos4α |
| sin4α |
=
| cosαsin4α |
| sinα |
| cos2αsin4α |
| sin2α |
| cos4α |
| sin4α |
=cos4α+2cos22α+4cos2αcos2α
=cos4α+2cos2α（2cos2α+cos2α）
=cos4α+2cos2α+4cos22α
=3cos4α+2cos2α+2
所以cotα+cot2α+cot4α=
| 2+2cos2α+3cos4α |
| sin4α |
点评：本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正弦、余弦公式的应用，证明的思路：由左至右；或者由右至左，或证明等式的变形式．
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