Question

已知A、B、C是最大边长为2的△ABC的三个内角，

m

=(2sin

A-B

2

，4sin

C

2

)，|

m

|=

10

．
（1）求tanA•tanB的值．（2）求∠C的最大值及此时△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用

m

=(2sin

A-B

2

，4sin

C

2

)，|

m

|=

10

求出

m

2的表达式，化简可得tanA•tanB的值．
（2）利用C=π-（A+B）求出tanC=-

5

2

(tanA+tanB)，利用基本不等式求得C的最大值，然后利用余弦定理求出a，b，即可求出三角形的面积．

解答：解：（1）∵

m

2=4sin2

A-B

2

+16sin2

C

2

=10-2cos（A-B）+8cos（A+B）
=10-2cosAcosB-10sinAsinB=10∴tanAtanB=

3

5

（2）∴tanAtanB=

3

5

＞0∴tanA＞0，tanB＞0
∴tanC=tan(A+B)=-

tanA+tanB

1+tanAtanB

=-

5

2

(tanA+tanB)≤-

15

当且仅当tanA=tanB=

15

5

取等号．
又∠C＞

π

2

，∴c为最大边．即c=2
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC∴4=2a2-2a2×(-

1

4

)∴a2=

8

5

故S△=

1

2

absinC=

1

2

×

8

5

×

15

4

=

15

5

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，余弦定理的应用，基本不等式的知识，是一道综合题，考查学生分析问题解决问题的能力，公式的熟练程度决定学生的能力的高低．