Question

设z是虚数，ω=z+是实数，且-1＜ω＜2.

（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；

（2）设u=，求证：u是纯虚数；

（3）求ω-u²的最小值.

 

Answer 1

（1）解：∵ω∈R,∴z+=.

∴z+=+.∴z-+-=0.

∴(z-)(1-)=0.∴z=或z·=1.

∵z是虚数,∴z·z=1，|z|=1.

设z=x+yi,则y≠0.

ω=z+=z+=z+=2x.

∴-1＜2x＜2.∴-＜x＜1.

（2）证明:u=

=

=.故是纯虚数.

（3）解:ω-u²=z+-()²=(x+yi)+(x-yi)-()²

=2x+［］²

=2x+=2x+

=2［(x+1)+］-3.

∵x∈(-,1),∴x+1＞0.

∴ω-u²≥2×2-3=1.

当x+1=，即x=0时，上式取等号.

∴ω-u²的最小值是1.