Question

设z是虚数，ω=z+

1

z

，且-1＜ω＜2．
（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；
（2）设u=

1-z

1+z

，求证：u为纯虚数．

Answer 1

分析：（1）设出复数z，写出ω的表示式，进行复数的运算，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z的实部的范围．
（2）根据设出的z，整理u的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u是一个纯虚数．

解答：解：设z=x+yi（x，y∈R，y≠0）
（1）ω=z+

1

z

=(x+

x

x2+y2

)+(y-

y

x2+y2

)i
∵-1＜ω＜2，∴y-

y

x2+y2

=0，
又∵y≠0，∴x²+y²=1即|z|=1
∵-1＜x+

x

x2+y2

＜2?-1＜2x＜2，
∴-

1

2

＜x＜1
即z的实部的取值范围是(-

1

2

，1)
（2）u=

1-z

1+z

=

(1-x-yi)(1+x-yi)

(1+x)2+y2

=

(1-x2-y2)-2yi

(1+x)2+y2

∵x²+y²=1，∴u=

-2y

(1+x)2+y2

i
又∵y≠0，
∴u是纯虚数．

点评：本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，题目的运算比较麻烦，解题时注意数字不要出错．