Question

已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.
（I）求函数的解析式；
（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.

Answer 1

（I）；（II）时，函数有极值；
当时，有极大值；当时，有极小值.

试题分析：（I）涉及切线，便要求出切点.本题中切点如何求？函数的图象在与轴交点处的切线方程是.说明切点就是直线与轴交点，所以令便得切点为(2,0).切点既在切线上又曲线，所以有, 即.
函数在切点处的导数就是切线的斜率，所以由已知有即.这样便得一个方程组，解这个方程组求出 便的解析式.
（II）将求导得，，
令.这是一个二次方程，要使得函数有极值，则方程要有两个不同的实数根，所以，由此可得的范围.解方程有便得取得极值时的值.
试题解析：（ I）由已知,切点为(2,0), 故有, 即
又，由已知得
联立①②，解得.所以函数的解析式为  
（II）因为
令
当函数有极值时，则，方程有实数解，                                           由，得.
①当时，有实数，在左右两侧均有，故函数无极值
②当m<1时,g'(x)=0有两个实数根x₁= (2－), x₂= (2+), g(x),g'(x) 的情况如下表：

	+	0	-	0	+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以在时，函数有极值；
当时，有极大值；当时，有极小值.