Question

已知函数,点为一定点,直线分别与函数的图象和轴交于点,,记的面积为.
（1）当时,求函数的单调区间；
（2）当时, 若,使得, 求实数的取值范围.

Answer 1

（1）的单调递增区间为的单调递增区间为；
（2）.

试题分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想、化归与转化思想.第一问，数形结合得到的表达式，将代入，因为中有绝对值，所以分和进行讨论，去掉绝对值，对求导判断函数的单调性；第二问，先由和的范围去掉中的绝对值符号，然后对原已知进行转化，转化为，所以下面求是关键，对求导，令解出方程的根，但是得通过的范围判断根在不在的范围内，所以进行讨论，分别求导数判断函数的单调性，确定最值的位置.
试题解析：(I) 因为，其中                  2分
当，，其中
当时，，，
所以，所以在上递增，      4分
当时，，，
令， 解得，所以在上递增
令， 解得，所以在上递减  7分
综上，的单调递增区间为，，的单调递增区间为.
（II）因为，其中
当，时，
因为，使得，所以在上的最大值一定大于等于
，令，得         8分
当时，即时
对成立，单调递增
所以当时，取得最大值
令 ，解得，
所以                          10分
当时，即时
对成立，单调递增
对成立，单调递减
所以当时，取得最大值
令  ，解得
所以                            …12分
综上所述，.                   13分