Question

已知S_n是正数数列{a_n}的前n项和，S₁²、S₂²、…、S_n²、…是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{b_n}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90．

(Ⅰ)求a_n和b_n；

(Ⅱ)试从数列{}中挑出一些项构成一个无穷等比数列，使它的各项和等于，并指出所挑数列的首项和公比．

Answer 1

(Ⅰ)∵{}是以3为首项，1为公差的等差数列,

∴=3+(n-1)=n+2(n∈N^*).

∴S_n=,n∈N^*(∵a_n＞0)

∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=.

又a₁=S₁=,

∴a_n= 

设{b_n}首项为b₁,公比为q.由题意知  ∴bⁿ=3ⁿ,n∈N^* 

(Ⅱ)设可从中挑出等比数列{c_n}，首项c₁=()^p,公比为（）^k,p、k∈N^*.

它的各项和等于.则有.  ∴()^p=[1-()^k].

当p≥k时，即3^p-k(3^k-1)=8 

又∵p、k∈N^*,  ∴只有p-k=0,k=2即

p=k=2时，数列{c_n}的各项和为 

当p＜k时，=3^k-p即(3^k-1)=8·3^k-p.

∵k＞p右边含有3的倍数，而左边非3的倍数，不存在p、k∈N^* 

∴存在一个数列{c_n}首项为,公比为，符合合条件.