Question

（本小题满分12分）

（理）已知S_n是正数数列{a_n}的前n项和，S₁²，S₂²、……、S_n² ……，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{b_n}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90．

(I)求a_n、b_n；(II)从数列{}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于．若能的话，请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话，请说明理由．

Answer 1

(I) a_n=(nÎN) 、b_n=3ⁿ(nÎN)

解析:

(I ){S_n}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以S_n²=3+(n–1)=n+2．

因为a_n>0，所以S_n=(nÎN)．当n≥2时，a_n=S_n–S_n–1=–；

又a₁=S₁=，所以a_n=(nÎN) ．　　

设{b_n}的首项为b₁，公比为q，则有所以，所以b_n=3ⁿ(nÎN)．　

(II) =()ⁿ，设可以挑出一个无穷等比数列{c_n}，首项为c₁=()^p，公比为()^k，(p、kÎN)， 它的各项和等于=，　则有，所以()^p=[1–()^k]，　　　

当p≥k时3^p–3^p–k=8，即3^p–k(3^k–1)=8， 因为p、kÎN，所以只有p–k=0，k=2时，

即p=k=2时，数列{c_n}的各项和为．　　　　　

当p<k时，3^k–1=8.3^k–p，因为k>p右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、kÎN，

所以唯一存在等比数列{c_n}，首项为，公比为，使它的各项和等于．