Question

已知Sn是正数数列{an}的前n项和，S12，S22、……、Sn2 ……，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{bn}为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90。

(1)求an、bn；

(2)从数列{}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于。若能的话，请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话，请说明理由。

Answer 1

（1）an=(n??N)；bn=3n(n??N)（2）见解析

解析:

(1){Sn}是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以Sn2=3+(n–1)=n+2

因为an>0，所以Sn=(n??N)，当n≥2时，an=Sn–Sn–1=–，又a1=S1=，所以an=(n??N) ，设{bn}的首项为b1，公比为q，则有 ，所以，所以bn=3n(n??N)，

(2)=()n，设可以挑出一个无穷等比数列{cn}，首项为c1=()p，公比为()k，(p、k??N)， 它的各项和等于=，则有，所以()p=[1–()k]， 当p≥k时3p–3p–k=8，即3p–k(3k–1)=8， 因为p、k??N，所以只有p–k=0，k=2时，即p=k=2时，数列{cn}的各项和为。当p<k时，3k–1=8.3k–p，因为k>p右边含有3的因数，而左边非3的倍数，不存在p、k??N，所以唯一存在等比数列{cn}，首项为，公比为，使它的各项和等于。