题目内容

已知向量a=(cosx,sinx)，b=(cos,-sin),且x∈［0, ］，设f(x)=a·b-2λ|a+b|.

(1)求a·b及|a+b|；

(2)若f(x)的最小值是-，求λ的值；

(3)若方程f(x)-4=0有解，求λ的取值范围.

解:(1)a·b=cos2x，|a+b|==2cosx.

(2)f(x)=cos2x-4λcosx=2cos2x-4λcosx-1=2(cosx-λ)2-2λ2-1,

当λ≥1时，f(x) min=1-4λ=-,λ=（舍去）;当λ≤0时，f(x) min=-1≠-;

当0＜λ＜1时，f(x) min=-2λ2-1=-,λ=，综上可知λ=.

(3)即方程2cos2x-4λcosx-5=0，在x∈［0, ］时有解，又cosx=0不满足方程，

∴cosx≠0，∴4λ=2cosx-(t=cosx∈(0,1］).

∵2t-在t∈(0,1)时单调递增，

∴2t-≤-3，∴4λ≤-3，

∴λ≤-.


练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）设
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范围．
已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函数f(x)=
a
•
b
+λ（λ为常数）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象的对称轴；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象经过点(
π
4
，0)，求函数y=f（x）在区间[0，
5π
12
]上的取值范围．
已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．
已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函数f(x)=2
a
•
b
-1的图象相邻对称轴间距离为
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．
已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）设f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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