Question

若a≥0，b≥0，且当

x≥0 y≥0 x+y≤1

时，恒有ax+by≤1，求以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积．

Answer 1

分析：作出不等式组对应的平面区域，要使ax+by≤1恒成立，只要ax+by的最大值不超过1即可，然后利用平移确定a，b满足的条件，即可求出点P（a，b）所形成的平面区域的面积．

解答：解：作出线性约束条件

x≥0 y≥0 x+y≤1

对应的可行域如图所示，
在此条件下，要使ax+by≤1恒成立，只要ax+by的最大值不超过1即可．
令z=ax+by，则y=-

a

b

x+

z

b

．
∵a≥0，b≥0，
∴若①-1＜-

a

b

≤0时（如图1），此时直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点A（0，1）时，
直线y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，对应的z也最大，将（0，1）代入z=ax+by得b≤1，
若②-

a

b

≤-1时（如图2），此时直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点B（1，0）时，
直线y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，对应的z也最大，将（1，0）代入z=ax+by得a≤1．
即

0≤a≤1 0≤b≤1

，此时对应的可行域如图，
∴以a，b为坐标的点P（a，b）所形成的面积为1．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题的基本方法．