Question

如图1-1-2所示,为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱.污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出.设箱体的长度为a m,高度为b m.已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60 m²,问当a、b各为多少时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计).

图1-1-2

Answer 1

分析：依题意可以建立两个基本的等量关系:①y=(y为质量分数,k为比例系数);②4b+2ab+2a=60.具体求解可有两条思路:一是将②式变形代入①式消元成一元函数,再求使y取得最小值时的自变量值;二是由①式知y为最小值等价于求ab的最大值,将ab看作一个整体,利用②式去寻求.在求最值的过程中,若遇到变量的和式或积式可考虑运用均值定理.

解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k＞0为比例系数.

根据题设,有

4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0),

∴b=(0＜a＜30).③

于是y===

=

≥=.

当a+2=时取等号,y达到最小值.

这时a=6或a=-10(舍去).

将a=6代入③式得b=3.

当a为6 m,b为3 m时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.

解法二：设y为流出的水中杂质的质量分数,则y=,其中k＞0为比例系数.

依题意,即所求的a、b值使ab最大.

由题设,知4b+2ab+2a=60(a＞0,b＞0),

即a+2b+ab=30(a＞0,b＞0).

∵a+2b≥2,

∴2+ab≤30ab+2-30≤0(+5)(-3)≤0.

当且仅当a=2b时,上式取等号.

当a＞0,b＞0时,解得0＜ab≤18,

即当a=2b时,ab取得最大值为18.

∴2b²=18.解得b=3,则a=6.

故当a为6 m,b为3 m时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.