题目内容
（2013•海淀区二模）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4．把△DAC沿对角线AC折起到△PAC的位置，如图2所示，使得点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，连接PB，点E，F分别为线段PA，PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EFH∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线HE与平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱PA上是否存在一点M，使得M到P，H，A，F四点的距离相等？请说明理由．
分析：（Ⅰ）依题意，可证得△ADC（即△PDC）是等边三角形⇒H是AC的中点，从而可知HE∥PC，可知同理EF∥PB，利用面面平行的判断定理即可证得结论；
（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量
=（x，y，z），由
可求得
，通过对x赋值，可求得
=（
，-3，0），利用向量的数量积即可求得cos＜
，
＞，即HE与平面PHB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=
PA=2，在直角三角形PHB中，PB=4，EF=
PB=2，从而可知E为M即可．
（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，以H为坐标原点建立空间直角坐标系，继而可求得A，P，B，E的坐标，设平面PHB的法向量
| n |
|
|
| n |
| 3 |
| n |
| HE |
（Ⅲ）在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（Ⅰ）∵点P在平面ABC上的正投影H恰好落在线段AC上，
所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，…1分
∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，
∴AC=4，∠CAB=60°，
∴△ADC是等边三角形，故H是AC的中点，…2分
∴HE∥PC…3分
同理可证EF∥PB，
又HE∩EF=E，CP∩PB=P，
∴平面EFH∥平面PBC；…5分
（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，-2，0），P（0，0，2
），B（
，1，0）…6分
因为E（0，-1，
），
=（0，-1，
），设平面PHB的法向量
=（x，y，z），
∵
=（
，1，0），
=（0，0，2
），
∴
，即
，
令x=
，则y=-3，
∴
=（
，-3，0）…8分
cos＜
，
＞=
=
=
…10分
∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为
…11分
（Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可…12分
因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=
PA=2…13分
在直角三角形PHB中，PB=4，EF=
PB=2，
所以点E到P，H，A，F四点的距离相等…14分
所以PH⊥平面ABC，所以PH⊥AC，…1分
∵在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠DAB=90°，∠CAB=30°，BC=2，AD=4，
∴AC=4，∠CAB=60°，
∴△ADC是等边三角形，故H是AC的中点，…2分
∴HE∥PC…3分
同理可证EF∥PB，
又HE∩EF=E，CP∩PB=P，
∴平面EFH∥平面PBC；…5分
（Ⅱ）在平面ABC内过H作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，则A（0，-2，0），P（0，0，2
| 3 |
| 3 |
因为E（0，-1，
| 3 |
| HE |
| 3 |
| n |
∵
| HB |
| 3 |
| HP |
| 3 |
∴
|
|
令x=
| 3 |
∴
| n |
| 3 |
cos＜
| n |
| HE |
| ||||
|
|
| 3 | ||
2×2
|
| ||
| 4 |
∴直线HE与平面PHB所成角的正弦值为
| ||
| 4 |
（Ⅲ）存在，事实上记点E为M即可…12分
因为在直角三角形PHA中，EH=PE=EA=
| 1 |
| 2 |
在直角三角形PHB中，PB=4，EF=
| 1 |
| 2 |
所以点E到P，H，A，F四点的距离相等…14分
点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查直线与平面所成的角，考查点、线、面间的距离计算，突出考查空间向量在空间几何中的应用，考查逻辑推理与证明的能力，属于难题．
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