Question

已知椭圆C的方程为，双曲线D与椭圆有相同的焦点F₁，F₂，P为它们的一个交点，若=0，则双曲线的离心率e为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：根据椭圆的定义得到：|PF₁|+|PF₂|=4…①，再由数量积满足=0，得到：|PF₁|²+|PF₂|²=12…②．由①②联解可得||PF₁|-|PF₂||=，得到双曲线的实轴2a'=，最后根据离心率的定义可得所求双曲线的离心率．
解答：∵椭圆C的方程为，
∴a²=4，b²=1，可得c²=a²-b²=3，所以a=2，c=
因此，椭圆的长轴2a=4，焦距为2c=2
∵点P在椭圆上，满足=0，
∴|PF₁|+|PF₂|=4，…①
且PF₁⊥PF₂，可得|PF₁|²+|PF₂|²=4c²=12，…②
①②联解，得||PF₁|-|PF₂||=
∵点P在双曲线上，
∴双曲线的实轴2a'=，
∵双曲线与椭圆有共同的焦点，
∴双曲线的焦距为2c=2，故双曲线的离心率e==
故选B
点评：本题给出双曲线与已知椭圆共焦点，求双曲线的离心率，着重考查了椭圆、双曲线的基本概念和平面向量数量积的运算等知识，属于基础题．